‘God heeft de gehele getallen geschapen, al het andere is mensenwerk.” Dat zei de Duitse wiskundige Leopold Kronecker in 1886. In diezelfde periode was er echter een groep wiskundigen die vond dat je zelfs eenvoudige gehele getallen zoals 1 en 2 niet zomaar als een ‘gegeven’ kon beschouwen. Hun vak had met de ontwikkeling van onder meer de hyperbolische meetkunde, de groepentheorie en de fourieranalyse een enorme ontwikkeling doorgemaakt, maar wat was het fundament van het wiskundige bouwwerk dat groter en groter werd?
‘Getallen’ is een antwoord dat veel wiskundigen niet tevreden stelde. Zelfs ‘gehele getallen’ – volgens Kronecker door God gegeven – was een te ruim begrip. ‘Natuurlijke getallen’ dan? Dus alleen de gehele getallen die positief zijn? Ook niet, hoe simpel en onschendbaar ze ook lijken te zijn.
Tegen het einde van de negentiende eeuw bogen filosofisch ingestelde wiskundigen zich over de vraag: wat zíjn getallen eigenlijk? Hoe zijn ze opgebouwd? De Duitser Richard Dedekind, acht jaar jonger dan Kronecker, schreef in 1888: „Getallen zijn vrije creaties van de menselijke geest; ze dienen als een middel om de diversiteit van dingen makkelijker en scherper te begrijpen.”
Dedekind stelde zich een universum voor dat niets bevat. Geen mensen, dieren, objecten, krachten – helemaal niets. Eén ding mag je echter doen in dit lege universum: je mag een ‘verzameling’ maken.
Een verzameling is een collectie van ‘dingen’ – auto’s, zonnebrillen, diersoorten of wat dan ook. Maar die zijn er niet in het lege universum! Je kunt daarom maar één verzameling maken: de verzameling die niets bevat. Deze ‘lege verzameling’ is nu iets: het eerste en vooralsnog enige object in ons universum. Dus als we deze ‘lege verzameling’ in een verzameling stoppen, krijgen we een verzameling met één ding erin. Voor Dedekind was dit de definitie van het getal 1.
Een verzameling wordt genoteerd door de elementen ervan tussen accolades op te sommen. Zo is {maandag, dinsdag, woensdag, donderdag, vrijdag, zaterdag, zondag} de verzameling van alle weekdagen. De lege verzameling kun je noteren als een paar accolades met niets daartussen: { }. Later is het symbool ∅ in zwang geraakt. Een Franse groep wiskundigen die publiceerde onder het pseudoniem Nicolas Bourbaki voerde in 1939 dit symbool in, dat afkomstig is van het Deense en Noorse alfabet.
Een lege tas in een tas
Met de accoladenotatie is het getal 1, dat de verzameling voorstelt met ∅ als enige element, dus te schrijven als {∅}, wat niet hetzelfde is als ∅. De lege verzameling ∅ (die dienst doet als het getal 0) is als een tas waar niets in zit, terwijl {∅} moet worden opgevat als een tas waarin een lege tas zit. Met ∅ en {∅} als goed gedefinieerde verzamelingen kun je weer een stap verder. Stop ze allebei in een nieuwe verzameling en je hebt het volgende getal: 2 = {∅, {∅}}. Net zo is 3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, en zo kun je eindeloos doorgaan.
Elk positief geheel getal is gebaseerd op die ene bouwsteen: de lege verzameling. Een prima bouwsteen, omdat je er niets voor nodig hebt: het is de verzameling met nul elementen. Dat de notatie algauw erg onoverzichtelijk wordt, doet niets af aan de consistentie van de definitie. Net als dat de zin ‘Als in Bergen bergen bergen bergen bergen bergen, bergen bergen bergen bergen bergen’ van cabaretier Kees Torn, waarin het woord ‘bergen’ wordt gebruikt als plaatsnaam, als werkwoord, als woord voor ‘heuvels’ en als woord voor ‘veel’ of ‘een boel’, semantisch gewoon correct is.
Ook negatieve getallen, breuken zoals ½ en irrationale getallen zoals de vierkantswortel uit 2 kunnen worden weergegeven in de vorm van verzamelingen. Hetzelfde geldt voor functies, vectoren, meetkundige figuren, topologische ruimtes of wat voor mathematisch object ook. Hoewel Dedekind als een van de eersten de vraag stelde ‘wat getallen zijn’ en antwoorden formuleerde in termen van verzamelingen, gaat zijn collega Georg Cantor door voor de grondlegger van het vak dat ‘verzamelingenleer’ ging heten.
Klik je op de homepage van NRC op het NRC-logo, dan blijf je op de homepage: het is een link naar zichzelf
De verzamelingenleer is tegenwoordig de logische basis van de moderne wiskunde. Niet dat wiskundigen zich continu van al die verzamelingen bewust zijn. Er is niemand die alles voor zich ziet als een wirwar aan accolades, doorgestreepte rondjes en komma’s. Wie vandaag de dag onderzoek doet in de getaltheorie, kijkt niet anders naar getallen dan wiskundigen van vroeger. Wat wél anders is, is dat ze zich realiseren dat er een gedegen fundament onder ligt. Ze wéten dat alles is terug te voeren op die ene bouwsteen, de lege verzameling. Ze bevat niets, maar betekent alles voor de wiskunde.
De grote wiskundige David Hilbert noemde Cantors verzamelingenleer „een paradijs waaruit niemand ons kan verdrijven”. Toch ging niet alles van meet af aan van een leien dakje. Rond 1900 zorgden diverse wiskundigen, ook Cantor zelf, voor een schok: de theorie bleek niet vrij te zijn van paradoxen. De bekendste paradox is die van de beroemde filosoof en logicus Bertrand Russell, over verzamelingen die zichzelf bevatten en verzamelingen die zichzelf níét bevatten.
Een moderne variant ervan gaat over websites die al dan niet naar zichzelf linken. Klik je op de homepage van NRC op het NRC-logo, dan blijf je (of kom je opnieuw) op de homepage: het is een link naar zichzelf. Maar de website van dit artikel heeft geen link die naar dit artikel doorverwijst. Stel nu dat een websiteontwikkelaar twee websites wil maken: website A met links naar alle websites die een link naar zichzelf bevatten en website B met links naar alle websites die zo’n zelfverwijzingslink niet bevatten.
Er zijn altijd beperkingen aan wat wiskundig bewijsbaar of weerlegbaar is
De homepage van NRC komt dus terecht op website A, de site van dit artikel op website B. Met de vraag of website B op website B moet worden vermeld, staat de websiteontwikkelaar voor een dilemma. Als hij de website er wél op vermeldt, dan linkt B naar zichzelf en had dus níét vermeld mogen worden. Maar als de websiteontwikkelaar de site níét vermeldt, dan linkt B niet naar zichzelf en had dus wél vermeld moeten worden.
Om zulke tegenstrijdigheden te voorkomen, werden regels opgesteld en beperkingen opgelegd aan hoe verzamelingen kunnen worden gevormd. Het leidde tot de formulering van een reeks axioma’s, beweringen waarvan men zonder bewijs de waarheid accepteert. Sommige axioma’s bevatten niets schokkends. Bijvoorbeeld: ‘de lege verzameling bestaat’. En: ‘als twee verzamelingen X en Y dezelfde elementen bevatten, dan zijn X en Y gelijk’. Andere axioma’s klinken ingewikkelder, zoals: ‘voor elke verzameling X geldt dat er een andere verzameling bestaat die alle deelverzamelingen van X als elementen bevat, en verder niets’.
Even simpel als geniaal
Met de invoering van axioma’s was het hele wiskundige bouwwerk voorzien van een fundament dat voor de meeste wiskundigen stevig genoeg was om hun stellingen te kunnen bewijzen. Maar helemaal onwrikbaar is het niet. Dat bleek toen de Oostenrijks-Amerikaanse logicus Kurt Gödel in 1931 zijn eerste ‘onvolledigheidsstelling’ bewees. Die stelling zegt dat er altíjd beperkingen zijn aan wat wiskundig bewijsbaar of weerlegbaar is. Binnen elk formeel systeem dat rijk genoeg is om als fundament van de wiskunde te dienen, komen uitspraken voor die onbeslisbaar zijn, dat wil zeggen: bewijsbaar noch weerlegbaar.
De meeste wiskunde die in de twintigste eeuw is ontwikkeld, heeft geen last van deze onvolledigheid. Maar voor vragen die betrekking hebben op het begrip oneindigheid schieten de axioma’s vaak wél tekort. Het beroemdste voorbeeld komt van Cantor. Hij bedacht een methode om de ‘grootte’ van verzamelingen met elkaar te vergelijken en bewees op een even simpele als geniale wijze dat er verschillende ‘groottes van oneindigheid’ bestaan. Cantor liet zien dat de verzameling van alle punten op een lijnstuk – een ‘continuüm’ – groter is dan de verzameling natuurlijke getallen.
Er zullen zich nieuwe onoplosbare problemen aandienen, want volmaakt is geen enkel axiomasysteem
De vraag of er nog een tussenliggende grootte is, hield wiskundigen decennialang bezig. Cantors vermoeden dat het antwoord nee is, is de ‘continuümhypothese’. Pas vele jaren na Cantors dood in 1918 werd duidelijk dat elke bewijspoging gedoemd is te mislukken: de continuümhypothese is onbeslisbaar. Dat impliceert – hoe vreemd het ook klinkt in een wereld die bestaat bij de gratie van strengheid – dat je ofwel de hypothese zelf, ofwel de ontkenning ervan kunt opnemen in de lijst van axioma’s. In beide gevallen ontstaat een consistente theorie, zonder tegenstrijdigheden.
Voor veel wiskundigen is het niet belangrijk of de continuümhypothese waar is of niet. Take it or leave it, zeggen ze doodleuk. Niet dat ze het geen interessante kwestie vinden. Maar binnen veel takken van de wiskunde is het al dan niet waar zijn van de hypothese simpelweg irrelevant. Beroemde problemen zoals de laatste stelling van Fermat en het vermoeden van Poincaré zijn in de afgelopen decennia bewezen. De continuümhypothese speelde daarin geen rol; de gangbare axioma’s bleken voldoende om de bewijzen te kunnen leveren.
Droomaxioma
Binnen een kleine groep logici die zich met de grondslagen van de wiskunde bezighouden, vindt debat plaats over de status van de continuümhypothese. In plaats van het opnemen van de hypothese zélf (of de ontkenning ervan), zoeken ze liever naar een axioma dat toegevoegd kan worden aan de bestaande lijst, zodat Cantors vraag beantwoord kan worden. Ze geloven dat de continuümhypothese waar óf onwaar moet zijn, maar dat het juiste stuk gereedschap – in de vorm van een nieuw axioma – voor een bewijs nog gevonden moet worden.
De Amerikaan Hugh Woodin, nu 69 jaar, denkt zo’n axioma op het spoor te zijn. Maar met het formuleren van axioma’s moet je voorzichtig omspringen. De uitspraak dat ‘elke wiskundige eigenschap een verzameling definieert met elementen die aan die eigenschap voldoen’ klinkt misschien onschuldig, maar het is juist deze uitspraak die de russellparadox tot gevolg heeft. Het laatste wat wiskundigen willen, is het axiomastelsel uitbreiden met iets wat tot een inconsistent stelsel leidt. Het hebben van een goede intuïtie voor dit soort zaken is essentieel, want binnen een axiomasysteem kun je niet aantonen dat dat systeem vrij is van tegenspraken – dat is de tweede onvolledigheidsstelling van Gödel.
Woodins droomaxioma heeft betrekking op de structuur van oneindige verzamelingen. Of dit axioma geen ongewenste implicaties met zich meebrengt, en dus daadwerkelijk kan worden toegevoegd, is op dit moment nog onduidelijk. Als het zover komt, betekent dat nog niet einde verhaal. Er zullen zich nieuwe onoplosbare problemen aandienen, want volmaakt is geen enkel axiomasysteem. Wat begon als een leeg universum met regels die je vertellen hoe je uit bestaande verzamelingen nieuwe verzamelingen maakt, dijt alsmaar verder uit. Het is een proces dat niemand een halt toeroept.
