De ultieme tegel is eindelijk gevonden

Wiskundigen hebben een tegel ontdekt die een vlak naadloos kan vullen. Bijzonder eraan is dat die betegeling uitsluitend op een niet-herhalende manier tot stand kan worden gebracht. De vondst baart opzien, want het was onbekend of zulke tegels bestaan.

De meeste betegelingen hebben een herhalend patroon, zoals vierkanten in een schaakbordpatroon, of zeshoeken in de bekende honingraat. Zo’n ‘schuifsymmetrische’ betegeling heet periodiek: je kunt de betegeling zodanig verschuiven dat die er ná de verschuiving precies zo uitziet als ervóór. Het is niet moeilijk om een vlak aperiodiek te betegelen: knip van een schaakbordpatroon elk vierkant zo door dat twee identieke rechthoeken ontstaan – sommige horizontaal, andere verticaal, totaal willekeurig. Door die willekeur verdwijnt alle regelmaat.

Al gauw ontkracht

De uitdaging is: bestaan er ook tegels, of verzamelingen van tegels, die een oneindig vlak alléén op een aperiodieke manier kunnen betegelen? In 1961 publiceerde de wiskundige Hao Wang een artikel waarin hij het vermoeden uitte dat het antwoord nee is. Maar dat vermoeden werd al gauw ontkracht. De eerste betegeling die werd gevonden, was gebaseerd op een set van 20.426 verschillende tegels.

Wiskundigen wilden weten of ze dat aantal konden verlagen. Halverwege de jaren zeventig bewees de wis- en natuurkundige Roger Penrose dat er twee verrassend eenvoudige vormen bestaan – hij noemde ze ‘vliegers’ en ‘pijlen’ – waarmee een echte aperiodieke betegeling mogelijk is.

De twee tegels van Penrose riepen de vraag op: zou er een enkele, slim gevormde tegel kunnen zijn die precies past? In 2011 vonden Joshua Socolar en Joan Taylor een vorm die in de buurt komt, maar die bestaat uit losse stukjes en voldoet daarmee niet aan de definitie van ‘tegel’.

Een grote verrassing

Het definitieve antwoord kwam vorige week van David Smith, Joseph Myers, Craig Kaplan en Chaim Goodman-Strauss. Ja, er bestaat een samenhangende vorm, een echte tegel dus, waarmee een oneindig vlak wél aperiodiek maar niet periodiek kan worden gevuld. Een ‘einstein’, zoals wiskundigen zeggen.

Een grote verrassing, opwinding op sociale media. „Ik had niet gedacht dat er een einstein zou bestaan”, reageert Jaap Scherphuis, een Delftse maker van software voor puzzelontwerpers. De tegel is zelfs verrassend simpel: een dertienhoek, met hoeken van 90, 120, 240 en 270 graden. Scherphuis: „Het is bijzonder dat de tegel is gebaseerd op een regelmatig patroon van opgedeelde zeshoeken, en niet op de vijfvoudige draaisymmetrie die wordt gebruikt in Penrosetegels.”

David Smith, uit Yorkshire in Engeland, is de ontdekker van de einstein. Hij is geen professioneel wiskundige, maar als liefhebber van patronen was hij gewoon wat aan het uitproberen. Met behulp van een programma van Scherphuis lukte het hem om een groot vlak redelijk sluitend te betegelen met de dertienhoek. Niet helemaal naadloos, maar Smith gaf niet op. Handmatig wist hij de gaten te vullen, waarop hij zich begon af te vragen of deze tegel een antwoord zou kunnen zijn op het einsteinprobleem.

Smith mailde Craig Kaplan, informaticus van de University of Waterloo in Canada. Toen begon het échte onderzoek naar de tegel. De aanpak was om met één tegel te beginnen en die te omringen met een laag tegels. De volgende stap was om daar opnieuw een ring omheen te leggen. En dan nóg een ring, net zo vaak, totdat dat niet meer lukt. Het ‘Heeschgetal’ van een tegelvorm is het maximale aantal ringen dat mogelijk is. Het hoogst bekende Heeschgetal is 6: in 2020 werd een vorm gevonden die omringd kan worden met zes lagen van diezelfde vorm, maar niet met zeven.

Overweldigende reacties

Met een zogeheten ‘SAT-solver’ vond Kaplan zestien lagen om de dertienhoekige tegel van Smith. „Op dat moment was ik ervan overtuigd dat de tegel een oneindig vlak kan betegelen”, mailt hij. Zijn argument: als dat niet mogelijk was geweest, was het Heeschgetal van de tegel minstens 16 geweest. Dat leek hem uitgesloten: bijna drie keer zo groot als het huidige record. „Bovendien geloofde ik dat de betegeling aperiodiek is, vanwege de wilde structuren die de SAT-solver vond.”

In hun paper – dat nog niet officieel is gepubliceerd maar wel al overweldigende reacties heeft gekregen – bewijzen de onderzoekers dat de tegel inderdaad vlakvullend is en óók dat die betegeling aperiodiek is. Groepjes tegels worden samengevoegd tot grotere clusters, ‘metategels’ genaamd. Die metategels worden op hun beurt gerangschikt tot ‘supertegels’. Dat proces wordt eindeloos herhaald, waardoor een steeds groter deel van het vlak wordt bedekt. Het is een fractalachtig proces. In de limiet is het hele, oneindige vlak gevuld.

Maar daarmee is de klus nog niet geklaard. De tegel is pas een echte einstein als een periodieke betegeling onmogelijk is. Het bewijs daarvan is gebaseerd op een gloednieuw idee en maakt gebruik van het feit dat de tegel deel uitmaakt van een heel continuüm van vormen, die allemaal einsteins zijn. „We hopen dat dit idee in de toekomst verder onderzoek zal stimuleren”, aldus Kaplan.