Op zoek naar het kantelpunt gooien wiskundigen kop of munt in een doolhof van koffie

In het hart van het Zwarte Woud, weg van de hectiek van het stadsleven, ligt een unieke plek waar wiskundigen zich volledig kunnen wijden aan hun vak. Het Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, gelegen in een dorp met zo’n tweeënhalfduizend inwoners, organiseert het hele jaar door workshops en conferenties. Wiskundigen van over de hele wereld komen er samen om zonder afleiding van buitenaf te werken aan complexe vraagstukken.

In november vorig jaar was er een week gewijd aan de wiskunde van faseovergangen: de plotselinge omslag in gedrag wanneer een systeem een kritische drempel bereikt. Achttien wiskundigen uit de voorhoede van dit vakgebied kwamen samen om deze verschijnselen te doorgronden. Onder hen was de 29-jarige Piet Lammers, die na een bachelor in Utrecht en een master en promotieonderzoek in Cambridge zijn plek vond in Parijs.

Daar is Lammers sinds 2023 ‘junior professor’ aan het Centre national de la recherche scientifique. Vorig jaar gaf hij de Cours Peccot, prestigieuze lezingen die het Collège de France in Parijs al sinds het einde van de negentiende eeuw jaarlijks organiseert. Ze zijn bedoeld voor jonge, veelbelovende wiskundigen en worden toegekend op basis van uitzonderlijke prestaties.

Plotselinge verandering

Lammers neemt graag de tijd om te vertellen over de ontwikkelingen in zijn vakgebied. Om het idee van een faseovergang duidelijk te maken, beschrijft hij tijdens een videocall een experiment dat iedereen thuis kan doen: „Leg een fles water in de vriezer en laat die afkoelen tot één graad onder nul. Het water is dan nog niet bevroren, maar als je tegen de fles tikt, ontstaat er kristalvorming en verandert het in één keer in ijs. Dat is een faseovergang. Een plotselinge verandering.”

Empirisch onderzoek is echter niet wat Lammers doet. Een laboratorium of observatorium heeft hij niet nodig, enkel een kamer waar je kunt nadenken. „Het is pure wiskunde”, zegt hij. Geen experimenten dus, wel formules, redenaties, bewijzen. Abstracte notaties zijn dan ook onvermijdelijk wanneer Lammers uitlegt waar hij en zijn collega’s mee bezig zijn. Tijdens het gesprek deelt hij zijn scherm. Op zijn tablet tekent hij een rooster van kleine vierkantjes met pijltjes, de basis van een versimpeld model om magnetisme te verklaren.

Magneten bestaan uit miljoenen kleine deeltjes (‘spins’) die als miniatuur-kompasnaaldjes werken. Waarom verliest een magneet bij verhitting plotseling zijn aantrekkingskracht zodra een bepaalde temperatuur is bereikt? Ruim honderd jaar geleden stelde de Duitse natuurkundige Ernst Ising een magneet voor als een rooster van spins, die allemaal omhoog of omlaag wijzen en zelf eigenlijk kleine magneetjes voorstellen. „Die magneten werken samen, of werken tegen elkaar in”, legt Lammers uit. „Enerzijds is er een magnetische kracht, die ervoor zorgt dat de spins hun buren beïnvloeden. Ze gaan dan allemaal dezelfde kant op staan. Anderzijds is er een soort natuurkracht, de entropie, die maakt dat de spins willekeurig iets doen.”

Dit samenspel leidt tot een complex systeem waarin temperatuur de doorslag geeft: hoe hoger de temperatuur, hoe zwakker de magnetische kracht en hoe sterker de entropie. Boven een kritische waarde – de zogeheten curietemperatuur, vernoemd naar Pierre Curie – verdwijnt het magnetisme abrupt.

Het model van Ernst Ising vormt een startpunt voor het bestuderen van allerlei faseovergangen. Niet alleen in de natuurkunde, maar ook in vakken als economie, geologie en sociologie. Denk aan het optreden van een beurscrash, het ontstaan van een aardbeving of meningsvorming in sociale netwerken: situaties waarbij er vanaf een zeker moment een kantelpunt optreedt.

Hoewel het Isingmodel helpt om complex gedrag te begrijpen, is het te simpel om de realiteit volledig te beschrijven. Een verfijning is het ‘rotormodel’, waarin spins niet enkel omhoog of omlaag wijzen, maar vrij kunnen draaien. In de jaren zeventig ontdekte de Sovjet-natuurkundige Vadim Berezinski een faseovergang in dit model. Het fenomeen speelt een rol in ‘superfluïda’, vloeistoffen die zonder wrijving kunnen stromen. Bij lage temperaturen binden wervelingen en antiwervelingen zich en neutraliseren ze elkaar, waardoor superfluïditeit ontstaat. Boven een bepaalde temperatuur verdwijnt dit effect.

Ondergewaardeerde wiskundigen

Kort na Berezinski deden John Michael Kosterlitz en David Thouless dezelfde ontdekking, waarvoor zij in 2016 de Nobelprijs voor Natuurkunde ontvingen; Berezinski was toen al overleden. Ook Duncan Haldane deelde dat jaar in de prijs, voor werk dat conceptueel nauw verwant is aan dat van Berezinski, Kosterlitz en Thouless.

De vondst van de BKT-faseovergang, waarbij de letters BKT naar de ontdekkers verwijzen, was baanbrekend, maar de rigoureuze wiskundige behandeling ervan werd gedaan door Jürg Fröhlich en Thomas Spencer. „Zij zijn de helden in mijn vak”, zegt Lammers, die vindt dat ze altijd een beetje ondergewaardeerd worden. „In het juryrapport van de Nobelprijs werden ze niet eens genoemd.”

Het bewijs van Fröhlich en Spencer stamt uit 1981 en is bijzonder moeilijk. Lammers zag het als een uitdaging om te zoeken naar een eenvoudiger bewijs van de BKT-faseovergang. Kon je met een andere ingang hetzelfde doel bereiken?

Zeker: die ingang bleek percolatietheorie te zijn. Deze tak van wiskunde, ontwikkeld in de tweede helft van de vorige eeuw, bestudeert hoe bijvoorbeeld vloeistoffen door poreuze materialen bewegen. Denk aan water dat door een koffiefilter met gemalen koffie sijpelt. De koffiedeeltjes vormen een soort netwerk van kleine gaatjes en doorgangen. Water dat in het koffiefilter wordt gegoten, verspreidt zich langs de paden die door de gaatjes worden gecreëerd. Kan worden voorspeld of er een doorlopend pad ontstaat?

Oneindig vierkant rooster

Wiskundigen bestuderen percolatie met behulp van kansen. Stel je een oneindig vierkant rooster van knooppunten voor. Twee naast elkaar gelegen knooppunten (horizontaal of verticaal) zijn al dan niet met elkaar verbonden. Gooi voor elk tweetal naastgelegen punten een munt op, met een bepaalde kans x op ‘kop’. Als ‘munt’ valt, worden de punten met een lijnstukje verbonden, bij ‘kop’ niet.

Je kunt het rooster dan opvatten als een doolhof waar water doorheen kan stromen – de lijntjes vormen de muurtjes waar het water niet doorheen kan. De illustratie hieronder toont drie roosters, waarbij de waarde van x achtereenvolgens 0,4, 0,5 en 0,6 is. Als x klein is, dan zijn er veel verbindingslijnen. Water dat op het rooster wordt gegoten, zit dan gevangen in een begrensd gebied. Maar als x groot is, ontstaan er juist grote open clusters, waarbinnen het water alsmaar door kan stromen. In de context van het koffiefilter: kleine waarden van x horen bij fijn gemalen koffiebonen, grote waarden bij grof gemalen bonen.

Een centrale vraag in de percolatietheorie is vanaf welke waarde van x er gegarandeerd een pad is van oneindige lengte. In 1957 werd bewezen dat er een kritische waarde is, in de zin dat de kans op een oneindig cluster 0 is als x kleiner is dan die waarde, en 1 als x groter is. Het algehele gedrag van het systeem verandert dus abrupt. Als x toeneemt, dan komt er een moment waarop de kans op een oneindig cluster, waar het water alsmaar kan doorstromen, acuut springt van 0 naar 1. Pas in 1980 werd vastgesteld dat dit omslagpunt exact bij 50 procent ligt. Precies op dat punt is er echter geen oneindig cluster – de waarde van x moet echt groter zijn dan 0,5.

Percolatietheorie kent veel meer toepassingen dan water dat door een koffiefilter vloeit. Zo kan de verspreiding van een epidemie of een bosbrand ermee worden gemodelleerd. Schaakbordvormige roosters zijn nog overzichtelijk. Complexere varianten hanteren andere structuren, zoals een zeshoekig grid of een boomstructuur, of houden rekening met afhankelijkheden tussen knooppunten. Dit levert uitdagende wiskundige problemen op.

Driedimensionale percolatiemodellen zijn bedrieglijk ingewikkeld

Piet Lammers
wiskundige

Lammers en zijn collega’s vertalen modellen zoals het rotormodel naar percolatiemodellen. In het rotormodel vormen clusters van spins die dezelfde kant op wijzen een structuur die doet denken aan een doorstromende vloeistof in een poreus medium. De overgang van een geordende naar een chaotische toestand is vergelijkbaar met het omslagpunt in percolatie.

Lammers gaf de aanzet tot een van de grote resultaten van de laatste jaren in zijn vakgebied: een bewijs van de BKT-faseovergang met percolatietheorie. Het gebruik van een probabilistisch model was volkomen nieuw. Twee onderzoeksteams pakten zijn idee op. Uiteindelijk leidde dit tot een bewijs dat veel toegankelijker is dan dat van Fröhlich en Spencer. „Het is uit te leggen aan masterstudenten”, zegt Lammers, die uitnodigingen kreeg om erover te spreken op prestigieuze universiteiten, zoals Princeton, Genève en Straatsburg.

„Percolatietheorie gebruik ik in vrijwel elk artikel dat ik schrijf”, voegt hij toe. Er valt nog veel te ontdekken. Het bewijs van de faseovergang in het rotormodel geldt alleen in twee dimensies. Wat gebeurt er in andere dimensies? Lammers: „Het Isingmodel is goed begrepen, in alle dimensies. Het is erg curieus dat in het rotormodel voor alle dimensies groter dan twee onbekend is of de magnetische kracht geleidelijk of abrupt verandert als de temperatuur toeneemt.”

Dat geldt ook voor percolatie. „Driedimensionale percolatiemodellen zijn bedrieglijk ingewikkeld, ondanks de simpele definitie”, zegt Lammers. Verloopt in een rooster van kubussen de faseovergang geleidelijk of plotseling? „Deze vraag noemen wij de continuïteit van de faseovergang. Het is een heel groot open probleem en niemand weet hoe we dit kunnen aanpakken.”

Vreemd genoeg worden de zaken met het toenemen van de dimensie doorgaans weer eenvoudiger. Al gaan ze onze verbeelding te boven, modellen in honderd dimensies zijn relatief makkelijk te doorgronden. In percolatiemodellen is dan zo veel ruimte, dat alles moeiteloos kan stromen. Dat vereenvoudigt de studie naar faseovergangen aanzienlijk.