De wereld mag dan afstevenen op chaos, rampen en tirannie, in het vakblad Science publiceren drie natuurkundigen een grondige verhandeling over hoe rozenblaadjes aan hun puntige vorm komen.
Die vorm, en vooral de manier waarop die tot stand komt, is bijzonder en nieuw, zegt Sourav Roy, een onderzoeker aan de Universiteit Leiden en het Amsterdamse onderzoeksinstituut Amolf. Roy is gespecialiseerd in elastische materialen, die bijvoorbeeld een rol spelen in zachte robots. „Dit is echt een inspirerende paper. Het geeft ons een nieuwe knop om aan te draaien bij het ontwerpen van elastische structuren”, zegt hij.
Van sommige rozensoorten, bijvoorbeeld de black baccara, plooien de buitenste rozenblaadjes zich tot meerdere puntige uiteinden. Hoe ouder het rozenblaadje, hoe meer punten. Het uiterlijk suggereert een satijnzachte stekeligheid, die mooi past bij de bloem van hartstocht en scherpe doorns.
Maar er is ook een wiskundige kant: de vorming van die puntjes, cusps in het Science-artikel, is het gevolg van wat wiskundigen een ‘geometrische frustratie’ noemen: door lokale variaties in de celgroei ‘wil’ het rozenblaadje een vorm aannemen die ruimtelijk onmogelijk is. Dat geeft interne spanningen, die zich concentreren in de puntige uiteinden.
De randen van andijvie
Eén type frustratie, of ‘incompatibiliteit’ was al goed bekend van allerlei oppervlakken in de natuur, zegt Roy. „We kenden al de Gauss-incompatibiliteit. Die zie je bijvoorbeeld in de golvende randen van bladeren van sommige planten, bijvoorbeeld sla.” Voorbeelden zijn krulsla (lollo rossa) en andijvie. Het bladweefsel aan de buitenste rand van het blad dijt sneller uit dan de binnenste delen. Om hieraan ruimte te bieden, gaan de randen lubberen of golven. Dit verklaart de buitenissige franjes van de lollo rossa, maar ook de subtielere ribbels in veel andere plantenbladeren.
„Je kunt hetzelfde zien als je een vuilniszak met de hand doorscheurt”, geeft Roy nog een voorbeeld, „bij de scheur rekt het plastic ter plaatse op, dat geeft een golvend patroon bij de scheur.”
Maar de punten van het rozenblad zijn het gevolg van een heel ander type incompatibiliteit, laten Eran Sharon en twee collega’s van de Hebrew University of Jerusalem zien in het Science-artikel: de Mainardi-Codazzi-Peterson-incompatibiliteit (MCP). Die is genoemd naar de wiskundigen die hem voor het eerst beschreven in de taal van de niet-euclidische wiskunde, de wiskunde van gekromde oppervlakken. Bij de MCP-incompatibiliteit gaat het niet om lokale variaties in oppervlak, maar in de kromming.
Kromming is de neiging om krom te trekken, zoals bij een poster die lang opgerold is geweest, en die niet meteen plat blijft liggen. Bij zo’n irritant opkrullende poster is de gewenste kromming goed te verwezenlijken.
Maar bij rozenblaadjes leidt dit tot een frustratie: het blaadje trekt krom in de richting van het aanhechtingspunt van het blaadje, maar die richting is niet overal hetzelfde. De kromtrek-richtingen vormen een soort waaiervorm, en vallen niet te combineren. Door de kromming ‘wil’ het uiteinde van het rozenblaadje oprollen tot een rolletje, maar over de richting van dat rolletje kan het blaadje het maar niet eens worden.
Lokale concentratie
De oplossing voor die interne spanningen is de vorming van de puntige cusps, waar de spanning lokaal geconcentreerd wordt. Tussen die punten kan het omkrullende rozenbladrolletje gewoon recht of naar binnen gekromd zijn, wat de rozenblaadjes hun puntige uiterlijk geeft. Terwijl het rozenblaadje groeit, wordt de kromming steeds sterker. Het rozenblaadje verandert dan van een vlakke ronde vorm in een vorm met één, twee, drie en soms wel vier of vijf punten. De verst gevorderde blaadjes zitten aan de buitenkant van de roos.
In de publicatie timmeren de onderzoekers dit mechanisme dicht met wiskunde en computersimulaties van ronde oppervlakken, maar ze maken ook plastic versies van de rozenblaadjes, met precies geprogrammeerde krommingen: daar duiken dezelfde puntige uiteinden op. Millimeterdunne reepjes rozenblad, minutieus uitgesneden, tonen bovendien aan dat de kromming vooral aan de rand zit, en gericht is naar het aanhechtingspunt. In de breedte krommen de blaadjes niet.
„Deze groep deed al eerder onderzoek naar de MCP-incompatibiliteit, maar nu laten ze overtuigend zien dat het ook in de natuur voorkomt”, zegt Roy. Het wiskundig verklaren van de vorm van rozenblaadjes kun je zien als poëtisch, of juist het tegenovergestelde, maar de onderliggende principes kun je ook terugvinden in andere toepassingen.
„Je kunt denken aan zachte robots, gemaakt van elastische materialen”, zegt Roy. Zulke robots, bijvoorbeeld gemaakt van siliconen, kunnen omgaan met tere materialen en zijn voor mensen minder gevaarlijk dan krachtige metalen robots. Ook medische hulpmiddelen, zoals stents die in een bloedvat uitvouwen tot de gewenste vorm, leunen op elastische ontwerpprincipes.
„Het ‘ploppen’ van de ene vorm naar de andere heeft bijna altijd te maken met een geometrische incompatibiliteit”, zegt Roy, „en dit is een heel nieuw soort incompatibiliteit, die we kunnen gebruiken bij het ontwerp van elastische structuren.”
Dat het verschijnsel juist de kop opsteekt in de roos, een van de meest gewaardeerde en met symboliek beladen bloemen in de westerse cultuur, is verder eigenlijk toeval, vermoedt Roy. „Ik denk eigenlijk dat de onderzoekers ook weer niet zo veel om rozen geven.”
