Als binnenkort de kerstballen weer worden opgeborgen, hoe ga je dan te werk? De ruimte in de doos wordt het efficiëntst benut door eerst een laag kerstballen neer te leggen in een rooster dat de vorm heeft van een honingraat. Plaats vervolgens de tweede laag ballen zo, dat elke bal in een kuiltje van de eerste laag valt, en blijf dit laag na laag herhalen.
Wiskundigen noemen de benutte ruimte de ‘dichtheid’ van de verpakking. Als de gehele driedimensionale ruimte wordt gevuld met even grote bollen in oneindig veel lagen – elke laag volgens het honingraatpatroon –, dan is de dichtheid zo’n 74 procent (de exacte waarde is (pi) gedeeld door de wortel uit 18). Johannes Kepler vermoedde in 1611 dat deze dichtheid optimaal is. Ondanks de eenvoud van het probleem, werd het bewijs pas in 1998 gevonden. De Amerikaan Thomas Hales had er 250 pagina’s vol redeneringen en berekeningen voor nodig – leunend op zwaar computerwerk.
Stelling van Pythagoras
De wiskundigen Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen en Julian Sahasrabudhe zetten eerder deze maand een artikel online met een nieuw resultaat over de dichtheid van bolverpakkingen in hogerdimensionale ruimtes. Bollen in dimensies groter dan drie zijn niet meer te visualiseren, maar ze zijn wiskundig wel te beschrijven. Voor de afstand tussen twee punten in een plat vlak is er de vertrouwde stelling van Pythagoras. Zo is de afstand tussen het punt met coördinaten (1, 2) en het punt met coördinaten (4, 6) gelijk aan ((4 – 1)2 + (6 – 2)2) = (32 + 42) = 25 = 5. In een ruimte met dimensie drie of groter werkt het net zo: de afstand tussen (1, 2, 3, 4) en (4, 6, 15, 88) – twee punten in de vierdimensionale ruimte – is ((4 – 1)2 + (6 – 2)2 + (15 – 3)2 + (88 – 4)2) = (32 + 42 + 122 + 842) = 7.225 = 85.
Met deze hogerdimensionale versie van Pythagoras is het mogelijk om een bol te beschrijven met gegeven middelpunt en gegeven straal, in welke dimensie dan ook: de verzameling van alle punten die dezelfde afstand (de straal) tot het middelpunt hebben. Wiskundigen vragen zich vervolgens af hoeveel ruimte zulke hogerdimensionale bollen innemen.
Het vinden van de beste verpakking van even grote bollen in hoge dimensies is een notoir lastig probleem. In vier dimensies kunnen bollen gestapeld worden met een dichtheid van bijna 62 procent (precies: 2 gedeeld door 16). De bollen bevinden zich daarbij in een vierdimensionaal rooster. Het is bewezen dat er geen betere regelmatige stapeling bestaat, maar onbewezen is dat er ook geen enkele ónregelmatige ordening is die tot een dichtere verpakking leidt.
Iets soortgelijks geldt voor de dimensies vijf, zes en zeven: de best bekende bolverpakkingen hebben een dichtheid van ongeveer 47, 37 respectievelijk 30 procent. Niemand verwacht dat het efficiënter kan, maar dat is onbewezen.
Een uitzondering is de achtste dimensie. In 2016 bewees de Oekraïense wiskundige Maryna Viazovska dat de stapeling waarvan al langer werd vermoed dat die optimaal is – met een dichtheid van 25 procent (exact: 4 gedeeld door 384) – daadwerkelijk de beste is. Het leverde haar in 2022 een Fieldsmedaille op, de belangrijkste prijs voor jonge wiskundigen.
Met het toenemen van de dimensie groeit ook het aandeel aan lege ruimte tussen de bollen. Over goede bolstapelingen, waarbij de loze ruimte zo beperkt mogelijk is, is in heel hoge dimensies nauwelijks iets bekend. Wordt de optimale dichtheid bereikt door een geordende stapeling? Of juist door een stapeling die helemaal geen regelmatig patroon vertoont?
Doordat elke dimensie weer andere obstakels heeft, is het moeilijk om er iets algemeens over te zeggen. Het zou mooi wezen: één kant-en-klare formule die je voor elke dimensie vertelt wat de hoogst haalbare dichtheid is. Zo’n formule is er echter niet, en daarom zoeken wiskundigen naar onder- en bovengrenzen. Een ondergrens geeft aan welke dichtheid zeker gehaald kan worden – de eis dat die optimaal is, vervalt. Een eenvoudig te bewijzen ondergrens die voor elke dimensie n geldt, is 1/2n (zie de inzet onderaan).
Betere ondergrens
In 1947 werd een substantieel betere ondergrens gevonden door de Brit Claude Rogers. Verdere verbeteringen waren nauwelijks significant. Campos, Jenssen, Michelen en Sahasrabudhe hebben nu, eindelijk, een forse stap gezet. Ze hebben bewezen dat er voor elke ‘voldoende hoge’ dimensie n een verpakking van even grote bollen bestaat met een dichtheid die ‘een factor in de orde van grootte van de logaritme van n’ beter is dan de dichtheid die tot nu toe de beste ondergrens was.
Hun preprint is nog niet officieel door vakcollega’s beoordeeld, maar experts zijn enthousiast. Fieldsmedaillewinnaar Timothy Gowers op X: „De eerste verbetering met meer dan een constante factor ten opzichte van de ondergrens voor bolverpakkingen in grote dimensies sinds 1947.”
Het viertal wiskundigen noemt de theorie van bolstapelingen in hoge dimensies „volkomen mysterieus”. Hun bolstapelingen zijn in hoge mate ongeordend – er ligt niet een of ander symmetrisch rooster aan ten grondslag. Ze voegen steeds een nieuwe bol toe door middel van een zogenaamd ‘Poissonproces’, een wiskundig model dat dient ter beschrijving van de momenten waarop zich toevallige incidenten voordoen. De bekende wiskundige Terence Tao schrijft op Mastodon dat dit „de eerste keer lijkt te zijn dat deze methode succesvol is toegepast op het klassieke bolstapelingsprobleem”.
