Hoe klein kan een oppervlak in een plat vlak zijn, waarin je een oneindig dunne naald van lengte 1 volledig kunt ronddraaien? Deze vraag werd in 1917 gesteld door de Japanse wiskundige Soichi Kakeya. Met ‘ronddraaien’ bedoelde Kakeya het maken van een continue beweging die de naald terugbrengt naar de oorspronkelijke positie, maar met de uiteinden omgekeerd. Of de lengte van de naald 1 centimeter, voet of shaku is, maakt niet uit – over de eenheid maakt een wiskundige zich niet druk.
Het meest voor de hand liggende oppervlak is een cirkel met een diameter van 1. Binnen zo’n cirkel kan de naald probleemloos rondom zijn middelpunt draaien. Maar qua grootte is de cirkel verre van optimaal: de oppervlakte van een cirkel met diameter 1 is gelijk aan π/4, afgerond 0,785.
Binnen een gelijkzijdige driehoek met hoogte 1 (de zijden hebben dan lengte 2/√3) kan de naald ook alle kanten op roteren. De oppervlakte van zo’n driehoek is ongeveer 0,577, een winst van meer dan 0,2. Een nog kleiner oppervlak is een deltoïde, een soort driehoek met ingedeukte zijden. De oppervlakte hiervan is met π/8 (ongeveer 0,393) half zo groot als de cirkel met diameter 1. Kan het nóg zuiniger?
Het antwoord luidt: ja. En hoe. De Russische wiskundige Abram Besikovitsj bewees dat er oppervlakken bestaan die ‘willekeurig klein’ (maar wel positief) zijn, maar waarbinnen een naald van lengte 1 toch volledig kan ronddraaien. Via een ingenieuze constructie is het mogelijk om altijd een oppervlak te vinden dat zo klein is als je maar wilt. Een oppervlakte van 0,1? Het kan. Een oppervlakte van 0,01? Kan ook. Het ‘besikovitsj-oppervlak’ is een grillige vorm die stapsgewijs ontstaat en bij elke stap kleiner wordt, maar waarin de naald toch altijd in alle richtingen kan draaien.
Wiskundige curiosa
Op het eerste gezicht lijken Kakeya’s naaldprobleem en Besikovitsj’ oplossing weinig meer dan wiskundige curiosa. Er zijn echter verrassende connecties met de getaltheorie, combinatoriek, fourieranalyse en mathematische fysica. Wat betreft toepassingen speelt het naaldprobleem onder meer een rol in het begrijpen van hoe golven zich verspreiden.
In de oorspronkelijke formulering van Kakeya gaat het erom dat de naald volledig kan ronddraaien. Een meer algemene vraag is: wat is het kleinste oppervlak waarbinnen de naald in elke richting kan wijzen? De aanvankelijke eis dat de naald hierbij een continue draai-en-schuifbeweging moet maken, vervalt. In de vorige eeuw was dit probleem het begin van een stuk diepe wiskunde. Het leidde tot de ontwikkeling van een nieuw vakgebied: de geometrische maattheorie.
Als je een naald in elke richting neerlegt, krijg je een configuratie die wiskundigen een ‘kakeya-verzameling’ noemen. Hoe meer de naalden overlappen, hoe kleiner de kakeya-verzameling. Besikovitsj bewees dat er een kakeya-verzameling bestaat die de wonderlijke eigenschap heeft dat de oppervlakte ervan nul is. Hetzelfde deed de Rus voor de driedimensionale ruimte, en zelfs voor nog hogere dimensies. Besikovitsj liet zien dat er een of andere bizarre driedimensionale figuur bestaat, die bijna onzichtbaar is omdat het volume ervan nul is, maar waarbinnen een naald van lengte 1 wel alle kanten op kan wijzen.
Dit tegenintuïtieve resultaat leidde ertoe dat wiskundigen gingen nadenken over de vraag hoe een driedimensionale kakeya-verzameling de ruimte vult. Net als een ‘gewoon’ driedimensionaal object, zoals een kubus of een bol? Of op een afwijkende manier, vanwege de bizarre vorm? Het eerste, blijkt. Dat hebben de wiskundigen Hong Wang (New York University) en Joshua Zahl (University of British Columbia, Canada) bewezen in een artikel van 127 pagina’s, dat ze in februari plaatsten op de preprintserver arXiv. Dit artikel is het slotstuk van een trilogie over dit onderwerp, waaraan het tweetal in 2021 begon. De eerste twee artikelen samen beslaan ook nog eens ruim honderd pagina’s abstracte wiskunde.
Gebroken waarden
In de eerste helft van de vorige eeuw ontwikkelden wiskundigen als Felix Hausdorff manieren om te ‘meten’ hoe figuren een oppervlak of een ruimte vullen. Ze zagen in dat ‘dimensie’ een veel rijker en flexibeler begrip is dan tot dan toe werd gedacht. Bij dimensie 1 denk je aan een lijn, bij dimensie 2 aan een plat vlak en bij dimensie 3 aan de ruimte zoals ons universum.
Vanaf dimensie 4 is een visualisatie onmogelijk, maar als je bedenkt dat een punt op een plat vlak met twee coördinaten kan worden beschreven en een punt in de driedimensionale ruimte met drie coördinaten, dan is het geen moeilijke stap om een tiendimensionale ruimte op te vatten als een verzameling punten die met tien coördinaten beschreven kunnen worden. Hausdorff ging nog een stap verder en vond een manier om dimensies niet alleen in hele getallen uit te drukken, maar ook in gebroken waarden, zoals 1,58 of 2,71.
Als de zijden van een ‘gewone’ tweedimensionale figuur, zoals een vierkant, met een factor drie worden verkleind, dan passen negen kopieën van deze verkleiningen in het origineel. En maak je alle zijden van een driedimensionale kubus drie keer zo klein, dan passen 27 van zulke blokjes in de aanvankelijke kubus – denk maar aan een rubikskubus. Voor een kubus in n dimensies zijn er 3n kleinere kopieën nodig om het origineel te vullen – de exponent geeft precies de dimensie aan.
Niet elke figuur op een plat vlak is zo ‘gewoon’ als een vierkant, en niet elke figuur in de ruimte is zo ‘gewoon’ als een kubus. De hausdorffdimensie is een maat voor hoe fractals – figuren waarbij je eindeloos kunt inzoomen en daarbij steeds hetzelfde patroon ziet – zich in een vlak of in de ruimte verspreiden. Een bekend voorbeeld is de ‘kochsneeuwvlok’, in 1904 bedacht door de Zweedse wiskundige Helge von Koch.
De kochsneeuwvlok ontstaat door te beginnen met een gelijkzijdige driehoek en elk van de drie zijden in drie gelijke stukken te verdelen. Vervang elk middelste segment door twee zijden van een nieuwe gelijkzijdige driehoek, zodat een zeshoekige ster ontstaat. Herhaal dit proces oneindig vaak voor elk van de nieuwe zijden: deel ze in drieën en vervang elk middelste segment door een gelijkzijdige uitstulping.
De kochsneeuwvlok bevindt zich in een plat – dus tweedimensionaal – vlak. Maar de hausdorffdimensie van deze sneeuwvlok is kleiner dan 2. Met de kochsneeuwvlok is namelijk iets eigenaardigs aan de hand. In elke stap wordt elk lijnstuk vervangen door vier kopieën die drie keer zo klein zijn als het oorspronkelijke lijnstuk. Dus als we de sneeuwvlok kunnen opbouwen uit kleinere kopieën, dan zouden we er 3d van nodig moeten hebben. Hierbij is de exponent d de dimensie van de sneeuwvlok. Aangezien er vier kopieën nodig zijn voor de kochsneeuwvlok, is d het getal dat de vergelijking 3d = 4 oplost. Deze waarde is niet geheel, maar een getal met oneindig veel cijfers achter de komma – afgerond 1,26. Dit is de hausdorffdimensie van de kochsneeuwvlok.
Een vergelijkbare figuur is de ‘mengerspons’, in 1926 beschreven door Karl Menger. De mengerspons ontstaat door een kubus op een bepaalde manier uit te hollen, via een reeks stappen die vergelijkbaar zijn met het procedé van de kochsneeuwvlok. Het volume van de spons is nul en de hausdorffdimensie is de oplossing van de vergelijking 3d =20: ongeveer 2,73.
Versplinterde vorm
Een van de grote vragen in de geometrische maattheorie was: wat is de hausdorffdimensie van een kakeya-verzameling? In een plat vlak is de hausdorffdimensie 2 – dat werd al in 1971 bewezen. Het driedimensionale analogon bleek veel moeilijker te onderzoeken. De wonderlijke vorm waarbinnen een naald alle kanten op kan wijzen is ingebed in de driedimensionale ruimte, maar de hausdorffdimensie zou – vanwege de versplinterde vorm – best kleiner dan drie kunnen zijn, net zoals dat bij de mengerspons het geval is.
In 1995 werd bewezen dat de hausdorffdimensie van zo’n kakeya-verzameling in elk geval niet kleiner kan zijn dan 2,5. Vier jaar later werd dit resultaat licht verbeterd door drie wiskundigen, onder wie Terence Tao, die zou uitgroeien tot een van de meest gevierde wiskundigen van deze tijd. Het drietal bewees dat de hausdorffdimensie strikt groter moet zijn dan 2,5.
Maar hoeveel groter? Is de hausdorffdimensie ‘zo groot mogelijk’, dat wil zeggen: gelijk aan de dimensie van de ruimte waarin de figuur is ingebed, drie dus? Of ligt de hausdorffdimensie ergens tussen de tweeënhalf en drie in? Dát is de vraag die nu door Wang en Zahl is beantwoord: de hausdorffdimensie is 3. Geen gebroken dimensie dus. Dit betekent dat de vorm, ondanks zijn extreem gefragmenteerde structuur, enkele van de bekende eigenschappen heeft van een alledaags driedimensionaal object. Als je een kakeya-verzameling wilt opvullen met kleinere kopieën van zichzelf, dan is het aantal benodigde kopieën gelijk aan de verkleiningsfactor tot de macht 3 – net als bij een kubus.
De twee wetenschappers bewezen hun resultaat ‘uit het ongerijmde’. Áls er een kakeya-verzameling met gebroken dimensie zou bestaan, dan zou die onmogelijke eigenschappen moeten bezitten. Direct nadat het bewijs online kwam, reageerde Terence Tao op zijn blog enthousiast: „Hong Wang en Joshua Zahl hebben een preprint gepubliceerd die het driedimensionale geval van het beruchte Kakeya-verzamelingsvermoeden oplost!” Hij spreekt van „een spectaculaire vooruitgang”, waarbij niet alleen ideeën uit de bestaande literatuur worden gebruikt, maar ook nieuwe ideeën, die Tao „opmerkelijk geavanceerd en delicaat” noemt.
