Ooit ging de mens de waarde van 0 zien – het was een grote prestatie

Er zijn verhalen die vaak doorverteld worden. Zoals dat rond het jaar 500 Indiase wiskundigen het getal nul hebben uitgevonden. In de eeuwen daarna heeft dat getal zich vanuit India langzaam verspreid over de hele wereld. En al die tijd zouden ze dus in Europa en in China niks van nul weten.

De verrassing is: grofweg klopt het verhaal. Maar de werkelijkheid is gecompliceerder. Het verhaal klopt omdat het oudste bewijs voor gebruik van het getal nul is te vinden in het Indiase Bakhshali-manuscript, dat tegenwoordig gedateerd wordt op 350 tot 500 na Christus. Het cijfer nul wordt er geschreven als een vette punt, een duidelijke voorloper van de huidige nul. En het getal wordt er gebruikt in berekeningen en als cijfer in een tientallig getallensysteem. Precies zoals wij nu doen in het moderne decimale getallensysteem, dat ook helemaal is overgenomen uit India. De plaats van een cijfer in het getal – toen en nu – is allesbepalend voor de waarde ervan. Het valt niet eens op: 103 is een heel ander getal dan 13 of 1.300.

De Sanskriet-tekst van het Bakhshali-manuscript is geschreven op stukken berkenbast die in 1881 in een gelijknamig Pakistaans dorpje zijn teruggevonden toen iemand ging graven tussen resten van een verlaten huis. Dat in die tekst ook negatieve getallen worden gebruikt, wijst op diepe doordenking en volledig gebruik van het getal nul.

Rode negatieve getallen

Maar de werkelijkheid is gecompliceerder. Alleen al de datering van dat anonieme Bakhshali-manuscript. Het ene stuk bast levert een C14-datering van 300 à 400 n.Chr. op, maar een ander stuk komt op 900 n.Chr. uit, terwijl het toch duidelijk door één hand geschreven is. Een groot probleem is dat niet, want uit ca. 630 n.Chr. stamt een tekst van de Indiase wiskundige Brahmagupta waarin het getal nul in al zijn glorie opduikt. Brahmagupta legt bijvoorbeeld glashelder uit: „Als nul bij een ander getal wordt opgeteld of ervan afgetrokken, dan blijft dat andere getal onveranderd. Als een getal wordt vermenigvuldigd met nul, dan wordt het nul.”

Een belangrijkere complicatie voor de geboorte van nul is dat er veel oudere aanwijzingen bestaan. Bijvoorbeeld dat Babylonische en Chinese geleerden en rekenaars bekend moeten zijn geweest met de functie van nul, maar hun ideeën daarover niet of nauwelijks opschreven. Al 1.000 jaar voor Brahmagupta gebruikten Chinese rekenaars een lege plek op hun rekenborden om nul mee aan te duiden. Ook markeerden ze negatieve getallen in rood. Dat ze dat deden zonder er ooit over na te denken, lijkt onwaarschijnlijk.

Grote getallen zijn nauwelijks uit te drukken in Romeinse cijfers

En op een Babylonisch kleitablet van rond 1700 v.Chr. staat een berekening van kwadraten met getallen waarin de ‘nul’ pijnlijk ontbreekt, maar die wartaal zou zijn als de schrijver dat concept niet in gedachten zou hebben gebruikt. Ook de Babyloniërs gebruikten een getallensysteem waarin de plaats van het cijfer in een getal bepalend is voor de waarde – waarbij dus de 2 in 211 tien keer zo groot is als de 2 in 21. Bij de Babyloniërs was dat verschil extremer omdat zij een zestigtallig stelsel gebruikten. Bij hen zou die 2 zéstig keer zo groot zijn geweest. Maar een getal nul hadden ze niet. 201 werd in het Babylonische systeem daarop opgeschreven als 21, niet te onderscheiden van het gewone 21. En kennelijk vonden de Babyloniërs dat geen groot probleem. De schrijver van dat kleitablet uit 1700 v.Chr. berekent probleemloos het kwadraat van 85, geschreven als [1],[25] – voor ons: 60+25 = 85. Het antwoord lijkt fout, want hij schrijft ijskoud als antwoord: [2],[25], 2×60+25 = 145. Als zijn zestigtallige stelsel een nul had gehad, was dat [2],[0],[25] geweest: 2×3.600+0+25 = 7.225, inderdaad het kwadraat van 85. Uit de daarop volgende berekening blijkt dat de rekenaar wel degelijk het juiste getal voor ogen had, en het dus alleen in onze ogen ‘slordig’ had opgeschreven. Deze schrijver kon in zijn hoofd onderscheid maken tussen twee ‘typen’ van het getal [2],[25], op grond van de context.

Pas rond 300 v.Chr. – nog steeds ver voor Bakhshali of Brahmagupta – gingen Babylonische schrijvers een soort cursieve komma gebruiken om aan te geven dat een plek in hun getallensysteem ‘leeg’ was, precies zoals wij de nul gebruiken. Omdat dat geen echt getal was, en ook niet los gebruikt werd in berekeningen, wordt dat gebruik niet beschouwd als een echte nul. Een halve nul.

Het brein van een chimpansee

De geleidelijke verschijning van nul kan worden beschouwd als een van de grootste prestaties van de mensheid, schrijft de neurobioloog Andreas Nieder in 2016 in een rijk overzicht van bijna alles over nul ‘Representing Something Out of Nothing: The Dawning of Zero’. Nieder behandelt er onder meer de vraag hoe de leegheid van een leeg bakje wordt gerepresenteerd in een chimpanseebrein.

Nieder vertelt ook hoe de nul vanuit India door de islamitische culturen naar het middeleeuwse Westen is gebracht. De Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa, later Fibonacci genoemd, was de eerste in Europa die over nul schreef, in zijn boek Liber Abaci (1202). Daarin zette hij het complete Indiase tientallige systeem uiteen. In Europa worden die naar hun directe herkomst meestal Arabische getallen genoemd, maar Fibonacci wist zelf heel goed dat de cijfers uit India kwamen. „Dit zijn de negen vormen van de Indiërs”, schreef hij in zijn Liber Abaci. „9 8 7 6 5 4 3 2 1. Samen met het nieuwe teken 0, dat de Arabieren cephirum noemen, kan daarmee ieder gewenst getal geschreven worden.” In kleinere kring was het Indisch-Arabische systeem al wel bekend, maar door Fibonacci werd het systeem zo populair dat het Arabische woord voor nul inmiddels een algemeen woord voor getal is geworden: cijfer.

Tot dan toe werden in het Westen de veel onhandiger Romeinse cijfers gebruikt, die geen plaatswaardesysteem kennen, maar een optelling en aftrekking zijn van losse letters die voor getallen staan. I = 1, V = 5, X = 10, C = 100 en bijvoorbeeld M = 1.000, dus MV is 1.005, maar 995 is CMXCV. Grote getallen zijn er nauwelijks in uit te drukken, terwijl in India moeiteloos gigantische getallen konden worden gebruikt. De Romeinen hadden wel trucjes. Een getal met haken erom heen werd duizend keer zo groot. En met twee haken 10.000 keer zo groot, drie haken 100.000 keer. Maar ook een streep boven het getal kon het duizendmaal vergroten. VM, met een streepje op de V, is daarom 6.000, 5.999 is VCMXCIX.

Shakespeare behoorde tot de eerste generatie in Engeland die met nul opgroeide

Dat bleef een trucje en weinig meer dan kortschrift, steno. Dat blijkt in ieder geval uit een anekdote over de gierigheid van keizer Tiberius die de Romeinse historicus Suetonius vertelt. Toen in het testament van Tiberius’ moeder Liva met strepen of haken was omschreven dat Galba 50.000.000 sestertiën moest worden nagelaten, kon keizer Tiberius dat getal moeiteloos reduceren tot een half miljoen. Want die extra tekens telden niet, zei Tiberius. „Quia notata non perscripta erat summa”, „want het getal was in steno, en niet in zijn geheel uitgeschreven”.

Ook rekensommen in Romeinse cijfers zijn moeilijk. Het sommetje 1.200×3 = 3.600 schrijf je als Romein zo: MCC×III = MMMDC. Of dat in de praktijk een groot probleem was, is overigens de vraag. Het gebruik van Romeinse cijfers werd gecombineerd met het telraam, de abacus. En daarmee kon wel razendsnel gerekend worden en omdat daarin de plaats van de tel-kraal bepalend was voor zijn waarde in de berekening werd daarin – Romeinse cijfers of niet – toch ook gebruik gemaakt van een soort plaatswaardesysteem.

Slim pratende papegaai

In de zestiende eeuw was de triomf van de Indiase getallen totaal, het werd zelfs vaste stof op de scholen, schrijft Nieder. In zijn grote review vertelt hij dat waarschijnlijk de beroemde toneelschrijver William Shakespeare behoorde tot de eerste generatie in Engeland die van kind af aan al met nul opgroeide. Uit zijn toneelstukken blijkt dat de nul voor hem volkomen vanzelfsprekend was. Met één extra nul op de juiste plaats vermenigvuldig ik mijn ‘dank je wel’ duizenden malen, laat hij iemand sierlijk zeggen in zijn toneelstuk The Winter’s Tale (eerste bedrijf, scène 2). En in King Lear wordt de koning kundig weggehoond door de nar met „Je bent een nul zonder vorm, ik ben nu beter dan jij, ik ben een nar, jij bent niets” (eerste bedrijf, scène 4).

Nieder vestigt ook de aandacht op het feit dat het cijfer nul diepe biologische wortels heeft in een dierlijk besef van ‘niets’. Hij onderscheidt daarin vier fasen. In de eerste fase is er nog geen enkel besef, er is letterlijk niets. In zijn woorden: „De afwezigheid van een prikkel hangt samen met een toestand van rust zonder enige eigen signatuur.” Dat geldt voor de meeste dieren met een simpel gedragsrepertoire waarin de afwezigheid van iets niet hoeft te leiden tot actie.

In de volgende fase wordt door het dier de afwezigheid van een prikkel wel opgemerkt, ‘als een betekenisvolle gedragscategorie’ maar er is geen enkele kwantitatieve betekenis. Dat geldt voor complexere dieren als zoogdieren en vogel. De beroemde slim pratende Afrikaanse grijze roodstaartpapegaai Alex antwoordde bijvoorbeeld ooit op de vraag naar de verschillen tussen twee gelijke objecten: ‘geen’. Maar ermee tellen kon hij niet. Bij makaken is zelfs aangetoond dat zij ‘getal-neuronen’ hebben die op ‘niets’ reageren, op ‘leegheid’.

Niemand gaat naar de markt om nul vissen te kopen

Pas in de derde fase wordt ‘niets’ een echte kwantitatieve categorie die als een lege set wordt voorgesteld aan de onderkant van een getallenlijn, aldus Nieder. En hoewel veel dieren wel beseffen dat een leeg bakje minder aantrekkelijk is dan een bakje met één druif, lijkt dat symbolische gevoel voor een getallenlijn toch wel voorbehouden aan mensen. En sinds Brahmagupta zit de mensheid als geheel dus in Nieders hoogste fase van nulbesef: „Het idee van een lege set wordt geformaliseerd in het getal nul, met een eigen symbool waarmee berekeningen en wiskundige redeneringen mee kunnen worden gemaakt.”

Gevoel voor nul is iets dat baby’s en kleine kinderen nog niet hebben. Pas rond drie jaar oud komen kinderen in Nieders tweede fase als ze gaan beseffen dat ‘niets’ een betekenisvolle categorie kan zijn, die anders is dan alle andere categorieën waarin wel ‘dingen’ zitten. Maar tellen met nul zit er dan nog niet in, ook als zij weten dat het ‘niets’ betekent. Vraag een kind van drie welk getal kleiner is, 1 of 0, en het zal zeggen: 1. Dat inzicht komt pas rond het zesde.

En zo gek is die trage ontwikkeling van ‘het besef van nul’ ook niet. Zoals de Britse filosoof Alfred North Whitehead ooit zei: „Het punt van nul is dat we dat getal niet nodig hebben in het dagelijks leven. Niemand gaat naar de markt om nul vissen te kopen. En precies daarom is nul het meest beschaafd van alle natuurlijke getallen.”

Delen





Mail de redactie