Kan dat, van je wiskundeangst afkomen?

„Hier kunnen we de abc-formule toepassen.” Ik zit aan tafel bij mijn oude wiskundeleraar, Giel Goris (88), we hebben het over kwadratische vergelijkingen. Aan de overkant van de straat ligt het schoolgebouw waar hij in 1963 ging lesgeven en ik in de jaren zeventig twee jaar wiskunde van hem kreeg, het Carolus Borromeus College in Helmond. Waarom, vraag ik, hebben we de abc-formule bij de vorige som niet gebruikt? Dat was toch ook een kwadratische vergelijking? „Omdat het daar makkelijker was zonder.” O, ja. Oké. Maar het had wel gekund? „Het had wel gekund, ja.”

Een klein jaar eerder, in het najaar van 2022, had ik hem enigszins overvallen met de vraag, maar hij zei toch ‘ja’ toen ik voorstelde om te proberen goed te maken, samen, wat vijfenveertig jaar geleden niet gelukt was. Zo klinkt het wel heel dramatisch. Eigenlijk zei ik gewoon: „Giel, zullen we kijken of jij mij die wiskunde van toen nu wél aan mijn verstand kan peuteren?”

Het is niet zo dat ik een wiskundetrauma heb; ik snapte het gewoon niet en ik heb nooit goed begrepen waaróm ik het niet snapte. In het algemeen ging leren me vlot af. Met rekenen kon ik aardig meekomen, en, al blonk ik er niet in uit, natuur- en scheikunde leverden geen al te grote problemen op. Maar voor wiskunde moest ik elk jaar keihard werken om op mijn eindrapport een vier te halen, anders zou ik niet overgaan. Bijles hielp niet.

Wiskunde is niet iets wat je zomaar komt aanwaaien

Dat zenuwen een rol spelen, de angst om het fout te doen of om het – toch weer – niet te begrijpen, daar ben ik intussen wel achter. Daarstraks probeerde Giel me uit te leggen wat een ‘discriminant’ is, kennis die je nodig hebt om kwadratische vergelijkingen te kunnen oplossen. Dat ging zo:

Giel: „De discriminant bepaalt of er wel of geen oplossing is. Want als een getal negatief is, kun je er geen wortel uit trekken natuurlijk.”

Ik (ferm): „Nee.”

Giel: „X kwadraat is min drie, kan dat?”

Stilte.

Giel (geduldig): „X kwadraat betekent twee keer hetzelfde getal met elkaar vermenigvuldigen.”

Ik: „Ja, ik weet wat een kwadraat is.” Zweterig probeer ik te bedenken hoe ik zo gauw, uit mijn hoofd, de wortel uit min drie kan uitrekenen. Maar die bestaat helemaal niet, dus.

Uit de essaybundel Wie is er bang voor wiskunde? (2018) van Gerardo Soto y Koelemeijer weet ik dat ‘wiskundeangst’ (‘maths anxiety’) wereldwijd een enorm wetenschappelijk onderzoeksgebied is. Zo ontdekten Amerikaanse onderzoekers dat vrouwelijke basisschooldocenten hun eigen negatieve reken- en wiskunde-ervaringen overbrengen op de meisjes aan wie ze lesgeven. Ook andere wetenschappers vonden de ‘math story’ van basisschooldocenten weerspiegeld in de houding van hun leerlingen. Maar wat maakt wiskundeonderwijs nu precies zo ingewikkeld, en hoe kunnen we het verbeteren zodat minder leerlingen afhaken?

Kwintencirkel

Het idee was dat ik mijn oude boeken – van de brugklas tot en met vier vwo – opnieuw tot me zou nemen, grotendeels door zelfstudie, met behulp van de antwoorden achterin en met Giel als raadgever op de achtergrond. Het bleek niet eenvoudig om ze in handen te krijgen. Ze worden nergens te koop aangeboden en zelfs de Koninklijke Bibliotheek heeft ze niet. ‘Deel 1 voor de brugklas’, 4e herziene druk uit 1976, vond ik uiteindelijk in de bibliotheek van de Vrije Universiteit.

Toen ik voor het eerst weer die paarse kaft met witte dubbele pijl zag, bezorgde me dat meer een gevoel van nostalgie dan dat er oude frustraties boven kwamen. Maar ik was vooral nieuwsgierig: hoe moeilijk of makkelijk zou het zijn om de stof nu, als eind-vijftiger, wél te snappen? En zou ik erachter kunnen komen wat er destijds is misgegaan? Ergens aan het eind van de brugklas raakte ik de kudde kwijt en die heb ik niet meer teruggevonden. Anders dan de vwo’ers van nu kon ik het vak aan het eind van de vierde klas laten vallen. Een krankzinnige opluchting.

Dat ik er geen klein jeugdtrauma aan heb overgehouden, is vermoedelijk vooral aan Giel te danken. Hij heeft nooit zijn hoofd geschud of gezucht als ik weer zat te stumperen. Hij zei ooit tegen me dat ik ondanks mijn slechte cijfers wel in staat was tot „wiskundig redeneren”. Ik had geen idee wat hij bedoelde, maar het klonk geruststellend. Laatst vroeg ik hem wat hij nu eigenlijk dacht als leerlingen bepaalde dingen maar niet konden begrijpen. Hij zei: „Dan dacht ik: ‘Ik heb het blijkbaar nog steeds niet goed uitgelegd’.”

Eigenlijk had ik muziekjournalist willen worden. Na het vwo was ik musicologie gaan studeren maar na anderhalf jaar was mijn propedeuse nog steeds niet in zicht. Telkens zakte ik voor het tentamen harmonieleer, dat met zijn getallenreeksen en terugkerende patronen veel weg had van wiskunde. De studie werd steeds meer een lijdensweg en als ik alleen maar dácht aan de kwintencirkel, kreeg ik het benauwd. Alle andere vakken had ik gehaald, en ik zou graag zijn doorgegaan met musicologie, maar zonder dat ene studiepunt van harmonieleer geen propedeuse. Er moest een studentenpsycholoog aan te pas komen om te kunnen besluiten dat ik beter iets anders kon gaan doen.

Sudoku’s

Thuis bladerde ik door de vergeelde pagina’s van het wiskundeboek voor de brugklas. Mijn oog bleef hangen bij een paragraaf over de „commutatieve eigenschap”. Plotseling voelde ik weer de nervositeit die dergelijke termen me bezorgden. Terwijl ik als kind nota bene van ‘moeilijke woorden’ hield. Ik verzamelde ze in een schrifje.

Na een paar dagen had ik genoeg moed verzameld om aan de sommen te beginnen. In paragraaf twee van het eerste hoofdstuk ging het al over, godbetert, vijfhoekpiramides. Het kostte me een uur om twee opgaven over grensvlakken, ribben en hoekpunten te beantwoorden en een vijfhoekpiramide te tekenen. Dat laatste lukte pas – en dan nog met veel moeite – toen ik op Wikipedia spiekte voor een voorbeeld. Ik dacht aan de NRC-redacteur die voorzichtig gevraagd had, nadat ik hem mijn idee voor dit wiskundeproject had voorgelegd: „Wat doe je als de gehoopte zelfoverwinning uitblijft?” En aan mijn man, die wilde weten of ik wel een „exit-strategie” had. De voorwaarde die Giel had gesteld om me te helpen met wiskunde, was dat ik er „met plezier” aan zou werken. De druk was dus hoog: ik mocht niet falen, en ik moest het óók nog leuk vinden.

Vrienden en collega-journalisten had ik gevraagd naar hun ‘math story’. Op één vriendin na, ze is boekhandelaar, had niemand ooit lol beleefd aan het vak of goede cijfers gehaald. Bijna allemaal beschouwden ze zich als wiskundekneus. Ook de collega wier vader leraar wiskunde was. „Waar je zin in hebt,” zei de een. „Voor geen goud,” zei de ander, als ik liet weten dat ik de wiskunde van vroeger aan het ‘herkansen’ was. Over bubbels gesproken.

Een oude studievriend mailde dat hij nooit iets met getallen deed, „behalve sudoku’s”. Ik downloadde een sudoku-app, vloog door de eerste twee levels, en was hooked. Ik appte Giel om te vragen of sudoku’s ook een soort wiskunde waren, of dat ik mijn energie misschien beter zou kunnen besteden? Hij appte terug: „Heel nuttig! Ik ben ook verslaafd!” Ik merkte, door elke dag een sudoku op te lossen, dat ik spelenderwijs de systematiek door kreeg. Opeens kostten de opdrachten uit Moderne Wiskunde me minder moeite.

Zeggen dat je niet kunt rekenen is blijkbaar stoer

Een halfjaar lang begon ik de dag met drie kwartier wiskundeopgaven. Piramides, vliegers en andere meetkundige figuren bleven lastig. Ruimtelijk inzicht was duidelijk niet mijn sterke punt. „Tekenen en uitknippen!” zei Giel dan, maar daar had ik niet altijd zin in. Hoe meer moeite ik moest doen, hoe groter het gevoel van ‘zelfoverwinning’. „Ik snap het!!!” staat met vette letters in een van mijn ruitjesschriften, bij een achthoek waarvan ik na veel gezwoeg de lengte van een onbekend lijnstuk had gevonden.

Bij de algebra-onderdelen werd ik vooral dwarsgezeten door ongeduld (niet goed lezen) en slordigheid (optellen in plaats van vermenigvuldigen, een kwadraat-teken over het hoofd zien). Dan was het de kunst om niet te blijven hangen in ergernis en zelfhaat; op zich kon ik wel overweg met vergelijkingen, functies en andere formules, ook als ze betrekking hadden op, bijvoorbeeld, driehoeken. De stelling van Pythagoras bleek even eenvoudig als briljant.

Wat tegenviel, was de traagheid waarmee mijn hersenen de kennis verwerkten. Was dat op school ook het probleem geweest? Als ik meer tijd zou hebben gekregen voor dezelfde materie, was het vast anders gelopen. Het plan om de eerste acht boeken – tot en met de vierde klas – opnieuw door te werken moest ik laten varen, anders had dit stuk misschien pas over een jaar in de krant gestaan. Aan het eind van deel drie (halverwege de tweede klas) hield ik Moderne Wiskunde voor gezien, maar niet zonder het voornemen om nog één serieus wiskundig thema te bedwingen: kwadratische vergelijkingen. Daarover later meer.

Het priemtweelingvermoeden

In Wie is er bang voor wiskunde? pleit Gerardo Soto y Koelemeijer (48), docent aan het Stedelijk Gymnasium in Leiden, voor een ander wiskundeonderwijs aan leerlingen die wiskunde moeilijk vinden, met minder nadruk op regeltjes en meer aandacht voor de creatieve kant van wiskunde. Voor wiskunde als „culturele activiteit”, als kunstvorm bijna. Die benadering helpt niet alleen tegen wiskundeangst, maar doet óók de wiskunde zelf meer recht, schrijft hij. Wiskunde is meer dan sommen maken.

Als Soto, in een hoofdstuk over het wiskundig genie Terence Tao, schrijft over het „priemtweelingvermoeden”, doe ik een wonderlijke ontdekking. Eerder al had ik in zijn vorige essaybundel, Wiskundigen mogen niet huilen, gelezen over soms eeuwenoude „vermoedens”, en over „bewijzen uit het ongerijmde”. Dergelijke poëtisch-filosofisch klinkende begrippen, die getuigen van twijfel en van tastend zoeken, passen veel meer bij de essentie van wiskunde, begreep ik al vlug, dan onverteerbare zinnen als, en nu citeer ik Moderne Wiskunde voor de brugklas, deel 2: „Het voorschrift waardoor in figuur 3.1 de punten A’ en A, B’ en B, C’en C bij elkaar behoren kunnen we noemen ‘spiegelen in de oorsprong’.”

Het priemtweelingvermoeden, lees ik, is een eeuwenoud, nog altijd onopgelost wiskundig probleem. Omdat ik het zo’n fantastisch woord vind, ‘priemtweelingvermoeden’, wil ik erg graag snappen waar het vraagstuk om draait. Wat een priemgetal is, weet ik zowaar nog: een getal alleen deelbaar door één en door zichzelf. Een ‘priemtweeling’ is een koppel van twee priemgetallen die een verschil van twee hebben, zoals bijvoorbeeld drie en vijf. Daar is ook al niets ingewikkelds aan. Het priemtweelingvermoeden zelf, ten slotte, is de nog altijd onbewezen stelling dat er een oneindig aantal van deze priemtweelingen bestaat, hoewel priemgetallen steeds zeldzamer worden naarmate je hoger op de getallenladder komt. Is dat alles? Ja, dat is alles. Hogere wiskunde, grenzend aan magie, en toch eenvoudig te begrijpen.

De meeste wiskundehaters in mijn omgeving hadden geen enkel beeld van de mogelijke toepassingen van het vak; het had niets te maken met hun dagelijks leven. Dat probleem hebben leerlingen nog steeds, zal ik later in gesprekken te weten komen. Maar bij mij werkt het nu andersom: juist mijn kennismaking met de ‘zuivere’ wiskunde geeft me meer inzicht in de aard van het vakgebied. Dat blijkt veel ongrijpbaarder en ‘onzekerder’ dan de regels en stelligheden deden vermoeden waar ik als scholier zo mee worstelde. Er blijken zelfs wiskundigen te zijn die zich bezighouden met onzichtbare, onvindbare dimensies. Het bezorgt me een kinderlijke opwinding; als ik nota bene aan het sterfbed van mijn vader in gesprek raak met een jonge neef die sterrenkunde studeert en hij het priemtweelingvermoeden niet blijkt te kennen, probeer ik het hem uit te leggen en stik daarbij bijna in mijn enthousiasme.

Skatebaan

In het wiskundelokaal hangt, ter decoratie vermoed ik, een kolossale rekenliniaal aan de wand. Het is de laatste les van het jaar voor deze derde klas van het Stedelijk Gymnasium in Leiden. Volgende week is er toetsweek en dit is de laatste kans om nog vragen te kunnen stellen. Wat ik opvang, gaat over „groeifactoren”, „periodieke verbanden” en „wortelvergelijkingen”. Buiten schijnt de zon fel, het is warm in de klas. De leerlingen werken zelfstandig de hoofdstukken uit Getal & ruimte nog eens door, die andere veelgebruikte wiskundemethode, die net als Moderne Wiskunde al heel lang bestaat. ‘Mijnheer Soto’, zoals Soto y Koelemeijer op school heet, loopt rond, beantwoordt vragen, schrijft wat op het bord. Hij geeft mij een exemplaar van het boek waar de leerlingen in bezig zijn en fluistert: „Ziet er vrolijker uit, hè?” Inderdaad: er staan foto’s in, cartoonachtige tekeningen, het is kleurig en levendig vormgegeven. Over mijn jarenzeventig-wiskundeboeken had hij verzucht: „O jee, wat erg voor die kinderen van vroeger…”

Achter in de klas zit een stel leerlingen zachtjes met elkaar te kletsen, niet over wiskunde. Zij doen alles „met twee vingers in de neus”. Voor hun klasgenoot Yannick van der Haven (15) geldt dat niet, hij ziet er heel erg tegenop om nog drie jaar wiskunde te moeten doen, zegt hij. Hij leert makkelijk, alleen wiskunde „komt er maar niet in”. Hij moet hard werken om telkens net een vijf of vijfenhalf te kunnen halen. „Ik besteed van alle vakken verreweg de meeste tijd aan wiskunde, maar ik word daar niet voor beloond. Heel demotiverend.” Zelfs duidelijk maken wat hij moeilijk vindt aan wiskunde, valt hem niet mee. Aarzelend: „Alles lijkt zo op elkaar. En als je één kleine vergissing maakt, is meteen je hele som fout. Bij mijn laatste toets kwam ik uit op een skatebaan van 172 kilometer hoog. Nou, toen wist ik zelf ook wel dat het niet klopte.”

Alles wat je leert, heb je steeds weer nodig

Yannick kan vanaf de vijfde klas voor wiskunde C kiezen, een variant voor leerlingen met het profiel Cultuur en Maatschappij, met extra herhaling en aangepaste, meer ‘talige’ leerstof. Je zou denken: de redding voor wie grote moeite heeft met wiskunde, al komt die na vier jaar misschien voor sommigen te laat. Toch zit op het Stedelijk Gymnasium Leiden, net als op het Erasmiaans Gymnasium dat ik later zal bezoeken, in elke klas hoogstens één leerling die voor wiskunde C kiest. Het vak heeft een zeer lage status, in elk geval onder de gymnasiasten die ik spreek. Zij zeiden, besmuikt: „Iemand die wiskunde C doet, is waarschijnlijk heel erg goed in iets anders.”

Gerardo Soto zou meer vrijheid willen om zelf zijn lessen in te richten, zonder die dwingende eisen van het eindexamen, die voortdurende haast om de stof erdoorheen te moeten jassen. Maar als hij een halfuur uittrekt om het te hebben over de laatste stelling van Fermat en het YouTube-filmpje laat zien waarin wiskundige Andrew Wiles overmand raakt door emoties wanneer die vertelt over het moment waarop hij (na zeven jaar onafgebroken zoeken) het bewijs vond voor die stelling, betekent dat voor de leerlingen dat er die dag weinig tijd is voor extra instructie.

En hij zou willen dat hij degenen die bepaalde onderdelen nog niet beheersen, net zolang kon laten herkansen totdat ze het wél snappen. Want bij wiskunde is het zo, sterker dan bij andere vakken, dat nieuwe leerstof voortbouwt op eerder aangeboden kennis. Met andere woorden: als je eenmaal de kudde kwijt bent, is het uiterst lastig om weer aan te haken. „Iemand die de brugklas afsluit met een vijf, moet daarna gewoon weer door. Op die manier vallen veel kinderen af.”

Leesclub

Ionica Smeets (44) schrijft al sinds 2006 voor buitenstaanders over wiskunde. Eerst samen met Jeanine Daems op het weblog Wiskundemeisjes, vanaf 2010 voor de Volkskrant. Sinds de zomer kunnen lezers haar persoonlijke problemen en dilemma’s voorleggen, die ze met behulp van wiskunde probeert op te lossen. Onvermoeibaar legt ze al jaren uit wat er leuk is aan wiskunde en andere exacte vakken, en wat je eraan hebt in het dagelijks leven. Niet gek dat ze uiteindelijk hoogleraar Wetenschapscommunicatie is geworden aan de Universiteit Leiden.

Smeets begrijpt best dat wiskunde er niet bij iedereen ingaat als koek, zegt ze op haar werkkamer in het Sylviusgebouw van de universiteit. Alleen al de notatie, die speciale manier van de dingen opschrijven. „Als je niet weet dat 2(a+b) twee máál a plus b betekent, kan dat heel verwarrend zijn.” Net als Soto y Koelemeijer en de twee wiskundedidactici die ik later spreek, noemt ze de „opbouwende kennis” die het vak wiskunde kenmerkt: alles wat je leert, heb je steeds weer nodig.

Precies dit heb ik de afgelopen tijd zelf ervaren. Voortdurend moest ik terugbladeren in het boek (of googelen) hoe het ook alweer zat. Kon je bij het vermenigvuldigen van twee wortels nu wel of niet de getallen zelf vermenigvuldigen, en voor de uitkomst een wortel zetten? Ja. Maar op die manier wortels optellen kan dan weer niet. Was een ruit nu ook een parallellogram of niet? Ja. En een vierkant is ook een ruit. En dus óók een parallellogram. Langzamerhand begon ik te zien dat het niet erg was om steeds oude stof te moeten herhalen. Sterker nog: het hoort erbij. Wiskunde is een vak dat geleidelijk moet ‘indalen’, zeggen didactici.

En er is nog iets dat wiskunde voor veel mensen lastiger maakt, zegt Smeets: het is een abstractie van de werkelijkheid. Alle andere wiskundigen die ik spreek, hebben het daar ook over. Aanvankelijk vond ik dat niet zo boeiend; een sudoku is ook abstract, toch is het heel duidelijk wat de bedoeling is. En priemgetallen zijn, in al hun abstractie, op zichzelf eenvoudig te vatten. Maar blijkbaar is dit voor velen een grote hindernis. Smeets vertelt over drie vrienden van haar leesclub, Neerlandici, die naar de presentatie kwamen van haar boek Het exacte verhaal. „Ze hadden zich voorgenomen om niet als een stereotiepe alfa meteen af te haken zodra ik iets over wiskunde zou zeggen. Ze waren echt met volle interesse en goede moed gekomen. Er zat één formule in die presentatie, puur ter illustratie, ze hoefden ’m niet te snappen. Toch zeiden sommigen achteraf dat alleen al het zíén van die formule blinde paniek had veroorzaakt, waardoor ze de volgende vijf minuten van mijn praatje hadden gemist.”

Zelfs voor deze hevige, bijna fysieke weerstand die sommigen voelen ten opzichte van wiskunde, heeft Smeets begrip. Maar wat ze absoluut níét begrijpt, is dat mensen zonder exacte achtergrond soms een zeker dedain vertonen voor bètawetenschappen. Het valt haar op dat allerlei mensen zich erop laten voorstaan „slecht in wiskunde” te zijn. „Zodra het bij een talkshow op televisie over wiskunde gaat, begint iedereen onmiddellijk roepen: ‘O, haha, daar kon ik echt helemaal niets van!’ Alsof dat iets cools is. Moet je voorstellen dat iemand uit de bètahoek zou zeggen: ‘Goethe, Shakespeare, huh? Nóóit van gehoord!’”

Paul Drijvers, hoogleraar Didactiek van de wiskunde aan de Universiteit Utrecht (Freudenthal Instituut) en Marjan Botke, docent wiskunde en net als Drijvers wiskundedidacticus, beginnen als ik ze spreek ook allebei – ongevraagd – over mensen die zich erop laten voorstaan slecht in rekenen of wiskunde te zijn. Drijvers heeft sterk de indruk dat het in onze maatschappij populair is, „sociaal wenselijk”, om te zeggen dat je vroeger op school niet goed was in wiskunde. Botke maakt zich er regelrecht boos om. Ze komt verschillende keren terug op een aflevering van de talkshow van Humberto Tan uit 2015, waar een collega van haar te gast was om commentaar te leveren op de (destijds) verplichte rekentoets in het voortgezet onderwijs. Tan zei lacherig dat hij vroeger op school niks kon van rekenen en wiskunde, en nog steeds niet, en hij vroeg zich hardop af waarom het nu eigenlijk zo belangrijk was om te kunnen optellen en aftrekken. Botke: „Het is schandalig! Hoe vaak zegt iemand op de Nederlandse televisie dat hij niet kan schrijven of lezen? Mensen schamen zich daar kapot voor, volgens mij. Ongeletterdheid wordt, terecht, als een probleem gezien. Maar zeggen dat je niet kunt rekenen is blijkbaar stoer.”

Granieten rotswand

Het is de missie van didactiek-hoogleraar Paul Drijvers (65) om het vak toegankelijker te maken en hij doet dat graag door te laten zien hoe hij wiskunde gebruikt om dagelijkse problemen op te lossen. Op de dag dat we elkaar spreken puzzelt hij enthousiast op het vraagstuk hoe hij zijn fiets, die hij ’s ochtends op weg naar de universiteit ergens in de polder met een gebroken ketting heeft moeten achterlaten, het beste kan ophalen. „Ik dacht eerst: een leenfiets. Maar nu blijkt dat ik die leenfiets daar niet mag laten staan. Dus ik heb een oplossingsrichting bedacht, maar die werkt niet. Nu moet ik een andere oplossingsrichting bedenken.”

Zo moeilijk is wiskunde helemaal niet, volgens hem. Het heeft vooral met „beeldvorming” te maken. Het aandeel leerlingen in het voortgezet onderwijs dat er echt niets van snapt, is tamelijk klein, zegt hij. Liever dan met wiskundeangst houden ze zich op het Freudenthal Instituut bezig met het „dichterbij brengen” van wiskunde, en het bestrijden van misverstanden. Zoals: „Wiskunde is niet die keiharde, granieten rotswand, waar wij doorlopend onze kop aan stoten. Nee, wiskunde is iets wat wij samen maken.”

Later zegt hij dat hij een beetje „polariseert”, om ons gesprek interessant te maken. Want natuurlijk is die rotswand die wiskunde heet wél behoorlijk steil. „Die stapelende kennis, die abstractie, het formalisme met die heel eigen taalnotaties, symbolen en formules, dat zijn lastige dingen. Mensen die goed zijn in rotsklimmen, vinden dat leuk, maar zij hebben de neiging om te onderschatten dat anderen dat moeilijk vinden.” Dat is dus wat er soms misgaat, denkt Drijvers: dat docenten, schoolboekenmakers en examenopstellers zich te veel laten meeslepen door dat heerlijke klimmen en onvoldoende oog hebben voor degenen die meters ver achterblijven, aan hoogtevrees lijden en bovendien geen idee hebben waar ze hun voeten neer moeten zetten. „Daar zit een mismatch.” De oplossing: zij die van klimmen houden, moeten dienen als „voorklimmers”: de juiste treetjes uithakken in de rotswand.

Stap voor stap uitleggen, de opgave in stukjes hakken, dat is precies wat wiskundedocent Marjan Botke doet in de les als een leerling het niet kan volgen, zal ze me duidelijk maken. „Tot waar snap je het nog wel?” vraagt ze dan. Dat hardop uitspreken wat je wel en niet begrijpt, helpt vaak al, zegt ze.

Drijvers wil laten zien dat wiskunde een „menselijke activiteit” is, iets wat raakt aan allerlei andere aspecten van het leven, van muziek tot theologie en kunstgeschiedenis. Hij herinnert me aan de rechtszaak tegen de kinderverpleegkundige Lucia de Berk. Zij werd in 2003 veroordeeld voor moord op zeven van haar patiënten, mede omdat de rechtbank oordeelde dat ze zo vaak bij sterfgevallen of reanimaties aanwezig was geweest dat het geen toeval kon zijn. Wetenschappers, onder wie de statisticus Richard Gill, konden aantonen dat die statistische bewijslast niet deugde. Ze werd in 2010 alsnog vrijgesproken. Hij legt me uit hoe ook medische testresultaten gemakkelijk verkeerd geïnterpreteerd kunnen worden door gebrek aan wiskundekennis. Neem een prenatale test naar chromosoomafwijkingen bij de foetus; bij een betrouwbaarheid van de test van 90 procent, is bij een positieve uitslag de kans dat je daadwerkelijk een kind met een afwijking in je buik hebt niet die 90 procent, maar ongeveer 50 procent. De kans om de afwijking te hebben als de testuitslag positief is, is namelijk niet hetzelfde als de kans dat de testuitslag positief is bij aanwezigheid van de afwijking. „Nog steeds niet fijn, maar toch minder dramatisch.”

Als ik nog even terugkom op die wiskundeangst, volgens Drijvers „niet zo’n constructieve invalshoek”, zegt hij: „Het gaat om zelfvertrouwen geven. Succeservaringen bezorgen.” Dat vraagt veel van leraren, legt hij uit: ze moeten zich in hun leerlingen weten te verplaatsen om te weten wat ze nodig hebben om dat succes daadwerkelijk te kunnen ervaren, én ze moeten creatief zijn in het bedenken van manieren om de leerlingen te motiveren en hen te stimuleren een „wiskundige attitude” te ontwikkelen. Tegen Gerardo Soto y Koelemeijer, die vanwege het knellende lesprogramma niet toekomt aan de mooie verhalen uit de wiskunde, zoals de zevenjarige zoektocht naar het bewijs van de laatste stelling van Fermat, zou hij willen zeggen: „Vertel ze gewoon! De verloren tijd haal je wel weer in doordat je de leerlingen hebt geënthousiasmeerd.” Soto y Koelemeijer heeft inmiddels afscheid genomen van zijn leerlingen in Leiden; hij geeft nu les aan een kleine middelbare school in Brussel. België kent geen centrale eindexamens, wat hem veel meer vrijheid geeft om zijn lessen naar eigen inzicht samen te stellen.

Blinde leerling

Het is toeval dat ik voor de tweede keer op een gymnasium ben; dit keer op het Erasmiaans in Rotterdam. De school is leeg, het is zowat zomervakantie. Marjan Botke (52) geeft hier les. Ze heeft zich verdiept in wiskundeangst, en aan de TU Delft traint ze aankomende wiskundedocenten. Ze stimuleert hen om in hun eigen levensgeschiedenis iets te zoeken wat kan helpen om zich beter te kunnen verplaatsen in zwakke leerlingen. Bij haarzelf is dat haar dyslectische aanleg. Ze kan heus wel schrijven, maar het kost haar moeite en haar nekharen gaan nog steeds rechtop staan bij het woord ‘dictee’. Dus ze kan meevoelen met mensen die wiskunde moeilijk vinden en er een hekel aan hebben.

Ik leer iets belangrijks van haar: wiskunde is bijna nooit iets wat je zomaar komt aanwaaien, ook niet als je er aanleg voor hebt. Als je – op welk niveau dan ook – verder wil komen, is toewijding nodig. Oefening. Botke: „Ik zeg vaak tegen de leerlingen: ‘Jongens, weet je waarom ik dit zo snel kan? Ik doe dit al dertig jaar!’ Mensen denken dat wiskunde iets is wat je wel of niet kunt, maar dat is zó’n onzin! Ik moet óók nadenken over een opgave, zelfs uit dit boek.” Ze wijst naar Moderne Wiskunde voor 2 vwo dat voor ons op tafel ligt.

En niet iedereen hoeft álles te kunnen of te begrijpen. Botke vertelt over haar eigen wiskundedocent, die een blinde leerling in de klas had. „Die moest een vier voor wiskunde halen om te kunnen slagen. Maar hoe leer je een blinde leerling ruimtemeetkunde? Dus hij zorgde dat wat die jongen wél kon, er goed in zat. Dat is wat ik van hem heb geleerd: kijk naar wat iemand wél kan.”

En wiskundeangst, wat ís dat nu eigenlijk? Botke: „Ik zie het als een blokkade die je langzamerhand hebt opgebouwd, misschien doordat er een paar keer iets niet lukte en je het daarna hebt opgegeven. Het kan ook zijn dat je er bij voorbaat niet in geloofde omdat tegen jou gezegd is dat je het niet kunt. Maar wiskundeangst is niet iets wat voor altijd vaststaat.” Botke brengt een leerling ter sprake die vorig jaar, in de vijfde, tegen haar zei „het komt nooit meer goed tussen mij en wiskunde”. Voor zijn eindexamen haalde hij uiteindelijk een acht. „Het was een leerling die alles gemakkelijk afging, alleen wiskunde was een vak waar hij moeite voor moest doen. Dat was hij dus niet gewend. Daardoor dácht hij dat hij het niet kon.”

Onverslapt vertrouwen

De inmiddels oud-leerling heet Koen de Kooter (18) en aan de telefoon vertelt hij me zijn ‘math story’. Op de basisschool had hij al moeite met rekenen. De eerste jaren van het gymnasium kon hij nog min of meer meekomen met wiskunde, zij het moeizaam, maar vanaf klas vijf kelderden zijn cijfers. Hij heeft zeker tien keer boven zijn boeken zitten huilen bij het leren van een toets, zegt hij. „Omdat het maar niet in mijn hoofd kwam.” Totdat hij het opgaf. „Als ik hard leerde, haalde ik een vijf en als ik niks deed een vier. Ik ging ervan uit dat ik met een slecht cijfer voor wiskunde mijn examen toch wel zou halen, en ik besloot alleen nog het absolute minimum te doen.” Bij de laatste toets in de vijfde schreef De Kooter bovenaan zijn vel papier: „Beste mevrouw Botke, het zal nooit iets worden tussen mij en de wiskunde, maar toch bedankt voor uw inzet, en bedankt dat u altijd vertrouwen in mij heeft gehad.” Hij haalde een 4,1.

In klas zes switchte hij naar wiskunde C, waarin ook logica wordt behandeld. Dat onderdeel bleek hem te liggen, hij vond het zelfs leuk. „Voor het eerst dacht ik niet tijdens het maken van de toets: ‘Fuck, ik kan het niet, ik kan het niet’.” Hij kreeg een zes en trakteerde zijn vrienden en zijn lerares op taart. Het bleef de rest van het schooljaar bij dit ene succes.

In overleg met zijn ouders meldde hij zich aan voor een intensieve, tweedaagse examentraining. Daar maakte hij van vroeg tot laat oude examenopgaven. Het was vooral een extra stimulans om eraan te gaan zitten, zegt De Kooter. „Die examentraining had mijn ouders tenslotte een aardige duit gekost.”

Dat hij een acht scoorde voor zijn eindexamen was een verrassing. Voor De Kooter zelf iets meer nog dan voor zijn docent. Zij bleef twee jaar lang „onverslapt vertrouwen” in hem houden. „Mevrouw Botke besefte beter dan ik waarom het bij mij fout ging: ik geloofde gewoon niet echt dat ik het zou kunnen. Ze bleef erop hameren dat ik het gewoon moest dóén, net als die ene klasgenoot die niet beter of slimmer was dan ik maar wel voldoendes haalde.”

Math with Menno

Graag had ik hier gemeld dat ik uiteindelijk na – opnieuw – heel wat uurtjes studeren en oefenen de kwadratische vergelijkingen geheel meester was geworden. Dat is niet zo. Of, nou ja, ik weet hoe je een parabool tovert uit een eenvoudige kwadratische functie, ik kan de abc-formule gebruiken en vat het principe van de discriminant. Voor een drie-vwo-proefwerk over dit onderwerp zou ik waarschijnlijk een voldoende halen, dankzij Giels uitleg, en die van online-wiskundedocent Menno Lagerwey. (Leerlingen van Gerardo Soto y Koelemeijer wezen me op zijn fantastische YouTube-kanaal Math with Menno.) Maar op het reusachtige geheel van de wiskunde voelt het als een minuscuul beginnetje. Zoals Soto y Koelemeijer schoolwiskunde noemt: een beetje rondlopen aan de voet van de Mount Everest. In mijn geval een wandeling náár de voet van de Mount Everest.

En toch.

Het moment waarop ik aan het eind van ons gesprek aan Ionica Smeets vroeg of ze me de laatste stelling van Fermat wilde uitleggen, wat ze deed, in twee minuten, en ik zei: „Is dat alles?” Ik wist dat wiskundigen er vierhonderdvijftig jaar over gedaan hadden om ’m te bewijzen, maar het eigenlijke probleem van de laatste stelling van Fermat bleek uiterst eenvoudig te begrijpen. (Voor wie het weten wil: de stelling is dat a kwadraat + b kwadraat = c kwadraat oftewel de stelling van Pythagoras – niet uitgebreid kan worden naar hogere machten dan twee.) Het moment waarop ik, ter ontspanning, op Netflix zocht naar speelfilms en documentaires met als trefwoord ‘wiskunde’. Het moment waarop ik zéker wist dat er achter in Moderne Wiskunde een fout antwoord stond. Het moment waarop Giel zei dat een bouwkundige met een kwadratische formule bijvoorbeeld de kromming van een rotonde kan uitrekenen en ik dat zo’n beetje voor me zag.

En natuurlijk het moment waarop ik me, zij het veertig jaar te laat, realiseerde dat de kwintencirkel kinderspel was. Giel en zijn vrouw hadden een andere bevriende oud-leerling, die piano heeft gestudeerd, gevraagd om bij hen thuis te komen voor een lesje harmonieleer.

Juliette Vermaes zat een klas lager, maar ik herinner me haar nog goed. Ze stelt me meteen gerust: harmonieleer is makkelijker dan wiskunde. Juliette vertelt over trillingen per seconde, octaven en intervallen, witte en zwarte toetsen, over tonaliteiten, kerktoonladders, reine en gelijkzwevende stemmingen, over mineur en majeur en natuurlijk over de kwintencirkel. Ze haalt een soort rekenliniaal tevoorschijn van karton, met een pianoklavier erop, en laat ons transponeren van de ene toonsoort naar de andere. Hoewel mijn muziektheorie diep leek weggezakt, komt het me ineens allemaal overbekend voor en ik vraag me serieus af wát ik nu precies zo lastig vond. Ik schaam me bijna dat deze bijeenkomst speciaal voor mij op touw gezet is.

Juliette vraagt of het echt alleen door de kwintencirkel kwam, dat ik moest stoppen met muziekwetenschap. „Nee,” zeg ik. „Harmonieleer vond ik sowieso moeilijk.” Ze wijst naar de Mozart-variaties die op de piano staan: „Je moest waarschijnlijk ook harmoniseren.” Ja! Ik weet het weer, we moesten inderdaad drieklanken determineren en melodieën van akkoorden voorzien, het ging me uiterst moeizaam af. Aan de hand van de eerste maten van Acht Variationen über ein holländisches lied legt Juliette me dan nog even compact en helder de basis van de akkoordenleer uit.

Ze vraagt of ik ergens spijt van heb. „Niet echt,” zeg ik. „Het is fijn om het nu alsnog te snappen.”